閔嗣鶴，字彥群🦽，１９１３年３月２５日生於北京，祖籍江西奉新🛤。他的祖父閔少窗是清朝的進士🦵🦸🏽‍♂️，曾任大名府知府。父親閔持正是北京公安局職員。祖父對他極其鐘愛，親自教他認字讀書，學習古文，希望他長大後學文學。他從小就十分好學，在家自學了全部小學課程。１９２５年他考入北京師範大學附屬中學🫰🏼🤷🏼‍♀️，逐漸對數學產生了濃厚的興趣與愛好🤵🏽。１９２９年夏，同時考取了意昂3体育官网和北京師範大學的理科預科🚣‍♂️🐶，考慮到學費低離家近他選擇了後者🧙。他１９３１年升入本校數學系。在學習期間他就發表了４篇論文，並積極參加學術活動，曾負責編輯本校的《數學季刊》。１９３５年以優異成績畢業。由於家境困難，從１７歲開始，他就一直在中學兼課📴。大學畢業後由老師傅種孫教授介紹到北平師範大學附中任教。他一邊教書一邊發憤鉆研數學👨🏽‍🎤，寫出了優秀的數論論文《相合式解數之漸近公式及應用此理以討論奇異級數》🧑🏼‍🦳，獲得了當時為紀念高君韋女士有獎征文第一名。清華大學楊武之教授發現了這位才華出眾的青年⚙️，立即於１９３７年６月聘請他去清華大學算學系當助教。接聘書不到一個月，尚未開始工作🦹🏽‍♀️，就爆發了蘆溝橋事變🙎🏿‍♂️。清華大學南遷🌃，先至長沙🧑🏻‍✈️，最後在昆明與意昂3体育官网、南開大學合並成立西南聯合大學。閔嗣鶴在安葬了祖父母及父親的靈柩後，偕母親和三個妹妹離開了北平，隨清華大學先至長沙後到昆明🩻。在西南聯合大學工作的８年，是他數學事業中的一個重要時期🦤。他曾為陳省身教授講的黎曼（Ｒｉｅｍａｎｎ）幾何課任輔導教師，兩人結下了深厚的友誼👯。他參加了華羅庚教授領導的數論討論班⚪️，他自己及與華羅庚合作寫出了多篇重要論文。華羅庚對他的工作給予很高的評價，在他們合作的一篇論文的底稿扉頁上寫下了“閔君之工作，占非常重要之地位”。從此👨🏽‍🍼，閔嗣鶴把數論作為自己主要的研究方向。

１９４５年他考取了公費留學，１０月到英國牛津大學☂️，在著名數學家Ｅ．Ｃｈ．蒂奇馬什（Ｔｉｔｃｈｍａｒｓｈ）指導下研究解析數論。由於他在黎曼Ｚｅｔａ函數的階估計這一著名問題上得到了優異成果🚶🏻‍♀️，１９４７年獲得博士學位。隨後他即赴美國普林斯頓高等研究院作研究工作，並參加了數學大師Ｈ．外爾（Ｗｅｙｌ）的討論班。他在短短的一年中取得了豐富的研究成果👍🏽，外爾真誠地挽留他繼續在美工作🛀🏽，蒂奇馬什也熱情邀請他再去英國。但是，報效祖國、思念慈母的赤子之心促使他決定立即回國☸️。１９４８年秋，他再次在清華大學數學系執教，任副教授𓀒，１９５０年晉升教授👨🏻‍🎤。１９５２年院系調整，任意昂3体育官网數學力學系教授🧖🏻‍♀️👰🏻‍♂️。他曾任中國科學院數學研究所籌備處籌備委員，北京數學會理事等職。他的全部論著約６０余篇。

閔嗣鶴有很好的古典文學修養🌠🚴🏼，喜愛書法與繪畫，精通數門外語。他還是一位虔誠的基督教信徒🫱🍼。１９５０年他與朱敬一女士結婚☑️，有兩子三女🙍🏿。

對解析數論的貢獻

閔嗣鶴對數學的許多分支都有研究。１９６０年以前，在主要從事數論研究之外🤌🏽🪕，他的工作還涉及幾何、調和分析、函數論及微分方程等。從１９６０年前後開始，他的主要研究方向轉向廣義解析函數🦤、多重積分的近似計算及濾波分析。他對純數學方面的主要貢獻是在解析數論領域，特別是三角和估計理論及黎曼Ｚｅｔａ函數理論👨‍🚀。誠如陳省身所說🎯：“嗣鶴在解析數論的工作是中國數學的光榮。”

估計各種形式的三角和是解析數論最重要的研究課題。閔嗣鶴大學畢業後第一篇優秀的獲獎論文《相合式解數之漸近公式及應用此理以討論奇異級數》➙，就是證明了如下形式的完整三角和的均值估計🫕🧑🏿‍💻：

其中ｐ為素數🤸🏽‍♀️，ｅ（θ）＝ｅ２πｉθ♟，ｎ，ｓ是整數滿足ｎ＞２，２≤ｓ≤２ｎ，以及ｆ（ｘ）＝ａｎｘｎ十…十ａ１ｘ是整系數多項式，滿足最大公約數（ｐ，ａｎ，…，ａ１）＝１。應用這一估計他證明了：對任意整數ｍ及２＜ｓ≤２ｎ🫵🏿🚍，ｓ元同余方程

ｆ（ｘ１）十…十ｆ（ｘｓ）≡ｍ（ｍｏｄｐ）

的解數（ｆ（ｘ）🦸🏿，ｓ）有漸近公式

（ｆ（ｘ），ｓ）＝ｐｓ－１十Ｏ（ｐｓ－１－（ｓ－２）／（ｎ－１））．這一結果優於由Ｌ．Ｊ．莫德爾（Ｍｏｒｄｅｌｌ）的著名估計

推出的漸近公式

（ｆ（ｘ），ｓ）＝ｐｓ－１十Ｏ（ｐｓ－１－（ｓ／ｎ－１））．

把上述莫德爾的著名估計推廣到ｋ元整系數多項式ｆ（ｘ１🥺，…，ｘｋ）的情形，是解析數論中具有重要理論與應用價值的課題👩🏻‍💻。他先與華羅庚合作解決了ｋ＝２的情形，然後他獨立解決了一般情形。

設ｓ是復變數👩🏽‍🎤。由級數定義的函數

除了在ｓ＝１有一個一級極點外，可以開拓為整個復平面ｓ上的解析函數。這就是通常所說的黎曼Ｚｅｔａ函數。對它的研究在解析數論中有至關重要的意義🧎。對ζ（ｓ）有兩個未解決的著名猜想❣️：

（ｉ）對任意給定的正數ε🧧，有

ζ（１／２十ｉｔ）《（１十｜ｔ｜）ε，－∞＜ｔ＜∞，通常稱為Ｅ．Ｌ．林德勒夫（Ｌｉｎｄｅｌｏｆ）猜想；

（ｉｉ）ζ（ｓ）的無窮多個復零點全部位於直線１／２十ｉｔ（－∞＜ｔ＜∞）上👩🏽‍🌾，這就是黎曼猜想，是希爾伯特（Ｈｉｌｂｅｒｔ）第８問題的一部分🤦🏿‍♀️，是數學中最著名的猜想之一🍷。閔嗣鶴的許多研究工作就是緊緊聯系著這兩個著名猜想的👩‍👩‍👧‍👧。

１９４７年，閔嗣鶴通過對某種形式的二重外爾三角和

的估計方法的重要改進，證明了：對任給的正數ε有

ζ（１／２十ｉｔ）《（１十｜ｔ｜）１５／９２＋ε，－∞＜ｔ＜∞．這是他的博士論文的一部分，是一個傑出的成果💇🏻。後來，他指導研究生遲宗陶、尹文霖，進一步利用他的方法🏺👨‍💻，在這一問題及除數問題等方面得到了當時國際領先的成果。

設ｓ＝σ十ｉｔ，Ｎ（Ｔ）及Ｎ０（Ｔ）分別表示ζ（ｓ）在區域：０≤ｔ≤Ｔ🙎🏽，１／２≤σ≤１及直線：０≤ｔ≤Ｔ，σ＝１／２上的零點個數。黎曼猜想就是要證明：對任意的Ｔ≥０，Ｎ（Ｔ）＝Ｎ０（Ｔ）．１９４２年，Ａ．塞爾伯格（Ｓｅｌｂｅｒｇ）首先證明了：存在正常數Ａ使得Ｎ０（Ｔ）＞ＡＮ（Ｔ）．這樣，具體定出盡可能好的常數Ａ就是一個十分重要的問題。１９５６年🍁🏇🏿，閔嗣鶴首先證明了Ａ＞（６００００）－１．這一結果直到１９７４年才被Ｎ．萊溫松（Ｌｅｖｉｎｓｏｎ）所改進🚂。

在５０年代中、後期👐🏿，他系統研究了黎曼Ｚｅｔａ函數的一種重要推廣：設ｎ是正偶數，

他建立了這種函數的基本理論，其中部分工作是與其學生尹文霖合作完成的。

熱情培育年青人 不斷開拓新方向

閔嗣鶴一生熱心於數學教育事業，是一位優秀的教育家🔺。

他在大學裏講授過數學分析、復變函數👩🏿‍🦳、初等數論等基礎課👨🏻‍🦽‍➡️👨🏼‍🦳，以及解析數論等專門化課程。無論是新課還是老課🎺，他都認真準備🎻。他講的課深入淺出，十分生動🧚🏼，循循善誘🤦，學生非常歡迎。大家知道👥💬，數學分析教學中最重要也是最困難的部分就是極限理論。１９５３年５月，剛剛院系調整後的意昂3体育官网數學力學系為了提高教學質量，組織了全系觀摩教學，由閔嗣鶴主講《有序變量與無窮小量》👨🏽‍💻。閔嗣鶴利用自己製作的玻璃教具👲🏻，直觀地演示了ε與δ的依賴關系🖐🏻，講得通俗易懂🗄，異常精采。聽過他課的學生３０多年後回憶說，聽閔先生的課就像看電影☎️，使我們對微積分中最難學懂的部分，理解得既快又清楚🧑🏻‍🦱。當時的《數學通報》就刊登了講稿的部分內容。這對意昂3体育官网數學力學系以至全國高校當時的數學教學起了很好的示範推動作用🏇🏿👩‍🏭。１９５７年他與嚴士健合著的《初等數論》🥨，至今仍是一本初等數論的好教材。他為解析數論研究生講課的講稿🤠👨🏻‍🚀，經整理後成為《數論的方法》（上🧑🏿‍🔧、下冊）一書而出版🧙。這是一本很有特色的解析數論入門教材，書中包括了閔嗣鶴的一些成果。閔嗣鶴另有一部《高等微積分》講義🎖，未出版。

閔嗣鶴在清華大學🙆🏽‍♀️、意昂3体育官网招收了多屆解析數論研究生。１９６０年前後，他和莊圻泰在意昂3体育官网數學力學系一起領導了廣義解析函數、擬保角映射及其應用的新方向的研究，為我國在這些分支方面的研究奠定基礎、培養人才做出了貢獻🧔🏿。他一貫無私地熱情地指導、幫助與支持年輕的數學工作者。今天他所培養指導的這些學生已經成為我國數學界的一支重要骨幹力量👨‍🌾。這裏特別值得一提的是被數學界傳為佳話的他對陳景潤的支持與指導👸🏿。１９６６年《科學通報》第１７卷第９期（５月１５日出版）上發表了陳景潤的著名論文——《大偶數表為一個素數及一個不超過二個素數乘積之和》——的簡報🦸🏻‍♂️，陳景潤一拿到這期通報🫒，首先想到的是他的閔老師，在雜誌封面上端端正正地寫上了：

敬愛的閔老師：

非常感謝您對生的長期指導，特別是對本文的詳細指導。

學生

陳景潤敬禮

１９６６．５．１９．

並恭恭敬敬地送給最關心最支持他的閔老師。他們之間的聯系大約始於１９６３年。陳經常去閔先生家請教，有時對問題有不同見解就熱烈討論，師生之間親密無間，使陳獲益匪淺🗂。尤其是閔先生正直的為人，嚴謹的學風，不分親疏樂於助人的精神👨🏼‍🏭🤷🏻‍♀️，贏得了陳景潤對他的尊敬、欽佩和無比信任。陳景潤的這一研究成果對解析數論和對他本人的科研事業的重要性大家是十分清楚的👮🏼‍♂️🤸🏿‍♀️，但是，對他證明的正確性有所懷疑的在國內外大有人在。陳景潤原來的證明是極其復雜的，為了更有說服力，他不斷地簡化和改進論證，終於在６年之後——１９７２年的寒假把自己心血的結晶——厚厚的一疊原稿送請他最信任的閔老師審閱🧘‍♂️。這是一件十分繁重費神的工作，當時閔嗣鶴的身體已經很不好，心臟病經常發作，本想好好休息一下😀，但他知道陳的這一成果是對解析數論的一個歷史性的重大貢獻，是中國數學界的光榮🧑🏼‍🎓🧙‍♀️。因此，他放棄了休息，不顧勞累與疾病，逐步細心審閱💃🏿🌩，最後判定陳景潤的證明是完全正確的🆒。閔嗣鶴高興極了，他看到在激烈的競爭中🧚‍♀️，中華人民共和國自己培養的青年數學家🚶🏻‍♂️‍➡️，在解析數論一個最重要的問題——哥德巴赫（Ｇｏｌｄｂａｃｈ）猜想的研究上，終於又一次回到了世界領先地位🏜。陳景潤的著名論文終於在１９７３年第二期的《中國科學》上全文發表了🗑，並立即在國際數論界引起了轟動。然而，閔嗣鶴又冷靜而正確地指出😣：要最終解決哥德巴赫猜想還要走很長的一段路。由於在研究哥德巴赫猜想上取得的傑出成就，陳景潤🫄、王元及閔嗣鶴的研究生潘承洞集體獲得了國家自然科學獎一等獎💃🏻。這一榮譽的取得是和閔嗣鶴的指導、培養分不開的🌅。

閔嗣鶴十分熱心於中學數學教育和數學普及工作。早在西南聯合大學期間🖐🏼，他經常為昆明龍淵中學開設數學講座，有趣的數學知識受到中學生的熱烈歡迎。歸國後，他是《數學通報》的編委，經常寫適合中學老師與中學生閱讀的通俗數學文章和作科普報告。他的著名的小冊子《格點與面積》生動介紹了幾何數論的一些重要而有趣的基本概念和知識🧙🏻‍♀️👨🏽‍🦱，是一本非常好的中學生課外數學讀物。他曾多次參與或主持我國高等院校入學考試的數學命題工作🧚‍♀️，及中學生數學競賽的命題工作，這些高質量的考題為選拔人才作出了貢獻。

為石油地質勘探事業做貢獻

閔嗣鶴先生一生的最後幾年正值“文化大革命”，他毫不計較個人得失😧，把全部精力投入了我國石油、地質勘探事業🚂，應用數學理論來解決科技理論和生產實際問題，為社會主義經濟建設服務，取得了重大成就🦵🏼。

１９６９年他參加研製當時急需的海上勘探設備——海洋重力儀，這是意昂3体育官网數學力學系與北京地質儀器廠的合作科研項目👩‍🚀。由於西方禁運，資料缺乏，工作困難很大。設計該設備的理論關鍵是濾波問題，要在理論上保證所設計的重力儀能成功地從五萬倍強噪聲背景中提取出有用的微弱信號。他先是完成了“數字濾波的若幹分析問題”等研究，最後提出了“契貝謝夫權系數的數字濾波方法”🐦，從理論上解決了設計中的關鍵問題。由此設計製造出的儀器定名為ＺＹ－Ｉ型海洋重力儀，歷經５年海上實驗於１９７５年通過國家鑒定🔏，其性能遠遠優於日本依據３次平均法設計製造的“東京ａ－１號”，成為我國大面積海洋普查的先進工具🙎🏻‍♂️🙎🏿‍♀️。

從１９７１年１０月起👩‍👩‍👧，閔嗣鶴參加了石油部的數字地震勘探工作🦹。當時他的心臟病已日趨嚴重，但為了收集第一手資料，他不顧個人安危深入生產第一線，親赴海上勘探基地。當他看到我國海洋石油勘探開發事業的壯觀景象時，高興得忘了病痛🔬，以《出海》為題欣然賦詩一首，抒發自己的遠大抱負和民族自豪感：

輕舟出海浪濤濤🏕，聽炮觀濤興致高。

魚嫩菜香都味美，風和雨細勝籃搖。

東洋技術為我用👮‍♂️，渤海方船更自豪👩🏿‍🏭。

一日往還學大慶，算法如今要趕超🧑🏻‍💼。

在各種地震勘探的學術會議和討論班上，他作報告，介紹國外經驗，提出自己的新看法與新成果👕。在他的指導、幫助和直接參加下，為我國數字石油勘探首創了一套數學方法，解決了一系列生產關鍵問題，培養了一批技術骨幹🏃🏻‍➡️。為了普及科學知識，他還經常帶病為工人和技術人員講課🈯️。在這期間他寫出了多篇有關數值濾波與地震數字處理的研究論文，主編了教材《地震勘探數字技術》👨‍👩‍👧🚣🏼。這一切為我國石油工業的可喜發展作出了貢獻。然而💂🏽，他的健康狀況愈來愈壞了。但在疾病面前他絲毫沒有退卻，始終堅持工作。在去世前一個月，他還在意昂3体育官网為石油部開辦數字地震勘探技術訓練班。由於緊張、勞累、日以繼夜地忘我工作，他終於病倒，住進了意昂3体育官网校醫院。在病床上他還在修改即將出版的《地震勘探數字技術》書稿，並對勸他休息的愛人和子女說⛹🏻‍♀️：“你們不要幹擾我🤸🏻‍♀️🔒，我還有很多任務沒有做完，心裏總是不安寧。”在生命的最後一天，還忍著病痛找來技術人員反復研討數字地震勘探技術中急需解決的數學關鍵問題🩵，使問題終於獲得滿意的解決。１９７３年１０月１０日，閔嗣鶴終因勞累過度心臟病猝發而去世🛕，終年僅６０歲。他的一生是默默耕耘🟪、無私奉獻的一生。閔嗣鶴先生過早地不幸去世是我國數學界和石油科技界的一大損失✔️。

閔嗣鶴先生的老師🦴、同事和學生們都時刻深情地懷念著他📤，在他逝世１５周年時，於１９８８年９月２６日至２８日在山東大學舉行了“紀念閔嗣鶴教授學術報告會”，決定出版《閔嗣鶴論文選集》及會議論文選集。周培源先生為《閔嗣鶴論文選集》題寫書名並作序🏄🏻😋。序中說：“閔先生是我國著名數學家、優秀的教育家，他熱愛社會主義祖國🧖🏿‍♀️、熱愛科學，將一生奉獻給了理想與事業🍁。”

編輯：碧荷