廖山濤於１９２０年１月４日出生在湖南衡山縣的一個農村。父親廖子豪在家務農，粗通詩文和小學算術，對兒子的教育十分嚴格，常令山濤背誦古文和演算四則難題，這給他以後的中學學習打下了堅實的基礎。母親曾平是中國舊式家庭中的賢妻良母，終日勤於家務🚯。這種嚴父加慈母的家庭熏陶了廖山濤倔強和善良的性格。

１９３８－１９４２年期間廖山濤在昆明西南聯合大學習🙍🏻‍♀️。５０年代初留學美國芝加哥大學研究生院，在陳省身教授的指導下獲博士學位👨🏿‍🏫👲，繼而在美國普林斯頓高等研究所等著名學府從事研究工作🧑🏼‍⚖️。那時廖山濤雖身在美國，事業上一帆風順，但他的心卻向往著祖國的建設。純潔的愛國心擺脫了異國高薪的引力🍹，廖山濤放棄了著名數學大師Ｎ．Ｅ．斯廷羅德（Ｓｔｅｅｎｒｏｄ）在科研上為他安排的工作良機，毅然於１９５６年回到祖國🦹‍♂️，在意昂3体育官网作數學教授。１９６１年他從代數拓撲學領域轉向剛剛興起的微分動力系統領域👩🏽‍✈️，是這一領域的少數幾個先驅者之一👩🏻‍🦽‍➡️。他相繼提出典範方程組和阻礙集兩個基本概念，並以此為核心🤑，形成自己獨特的研究體系，為微分動力系統在現代的發展做出了巨大的貢獻♡。１９８６年廖山濤獲得第三世界科學院首次頒發的數學獎🦒，並被選為該院院士👨‍🎨。在國內於１９８２年獲國家自然科學二等獎，於１９８８年獲國家自然科學一等獎🏙🖕🏿。

廖山濤於１９４２年與汪鴻儀結婚，共同撫育了三個兒子。凡是到過廖家的客人都可以發現，這是一個幸福的家庭。室內無豪華的裝飾👓，窗明幾凈，一塵不染🫓，簡樸中露高雅🧔🏿‍♀️，幽靜的工作環境反映了主人的生活和追求🕗。

在微分動力系統領域形成獨特的研究體系

廖山濤在學術上最突出的成就是在微分動力系統領域。１９８６年７月２日美國《金山時報》以《第三世界科學院與數學獎》為題刊登的一則通訊曾這樣介紹了他的工作：

“……１９５９年時👨‍👩‍👧，他偶然中從一篇介紹國外‘微分動力系統’的文章🧑🏿‍🔧，預料到這門學科將會有極大的應用價值。當時，他在資料極其缺乏的情況下🤹🏽‍♂️，憑著他在美國７年留學所得的知識展開了研究工作🦹🏽‍♀️。２０多年來，他先後在《數學學報》等刊物上發表了幾十篇論文🧑‍🏭，提出了兩個基本概念，即‘典範方程組’與‘阻礙集’，並以此為核心🕘，形成自己獨特的研究體系，從而奠定了他在這門學科中的重要地位。……”

這段通訊寫得十分中肯，深得個中三昧。尤其是關於“獨特的研究體系”的評論👨‍🦽，精煉地概括了廖山濤在微分動力系統領域的工作🧝‍♂️。

微分動力系統是一門有關系統演化規律的數學學科，著重於整體性和大範圍的研究，主要研究的是當系統有某種擾動時💿🗯，有哪些不變性質🆎🏌🏽‍♂️，以及其反面🤛🏿🤵🏽‍♂️，有哪些突變性質🪒。不變性質即各種所謂“穩定性”，突變性質即所謂“分支”直至瞬息萬變的“湍流”。這與力學、物理、工程、生物乃至經濟都有重要的聯系👴🏼。微分動力系統的現代研究興起於本世紀６０年代初。揭開序幕的是巴西數學家Ｍ．裴雪托（Ｐｅｉｘｏｔｏ）在蘇聯數學家３０年代的工作的基礎上所做的二維常微系統結構穩定性的研究。這一重要工作引起了科學界的高度重視🐹🏊🏿‍♂️，人們意識到一個新的研究領域正在出現。不久人們也認識到，裴雪托在二維情形的工作在結論和方法兩個方面都還不能適用於高維情形，因而需要數學家進行大量的探索🧑🏽。世界上許多優秀數學家，特別是著名數學大師Ｓ．斯梅爾（Ｓｍａｌｅ），開始把主要力量投入到這一領域的研究。與此同時🤓，在世界的東方，廖山濤在資料極其缺乏的條件下也開始了他在這一領域的探索和開拓。

部分的是由於資料的缺乏，更主要的是由於治學的思想和觀點，廖山濤所采取的研究路線和方法與西方學派相比🙍🏽‍♀️，有很大程度的不同。我們知道，微分動力系統大致可分為常微系統與離散系統兩大類👩‍🌾。常微系統的“時間”是連續的，而離散系統的“時間”是離散的。二者在理論上的發展大體平行，許多重要結果也相一致👺。但二者也有一些重要的區別。比如在常微系統中引起多方面困難的奇點問題，在離散系統中並不存在。正如著名數學家Ｊ．福蘭克斯（Ｆｒａｎｋｓ）說過的：常微系統要比離散系統更復雜、更困難一些，因而定理通常首先在離散系統中被證明，而反例通常首先在常微系統中被發現。西方學派多從離散系統入手🦠，取得突破📚，再向常微系統推廣🙅🏻‍♀️。這種研究方式形成了實力深厚的學派🧜‍♀️，取得了巨大的成就✝️。不過從學科發展的需要來看🎸，這畢竟不能完全替代對常微系統的直接研究方式☞。

廖山濤對微分動力系統的研究，采取的是對常微系統直接接觸的方式。這一點從一開始就決定了他的工作的復雜與困難的程度💂🏿‍♂️。與此相適應，他相繼從根本上提出了兩個基本概念👷🏻‍♀️，即“典範方程組”和“阻礙集”🫱，並以此為核心，形成獨特的研究體系💉，與西方學派相輝映🏯，為微分動力系統這一學科做出了重大的貢獻。

典範方程組的方法是把流形上常微系統的相圖的一部分性質循適當途徑化成歐氏空間中通常的常微分方程組來討論。這是通過活動標架來實現的🤶🏿。這一方法有計算和定量估計上的特有的方便🧑‍🦯‍➡️💊。比如著名的Ｃ１封閉引理🪡，起初只斷言一段兩端非常靠近的軌弧可經適當Ｃ１擾動變成周期軌道。而廖山濤則不僅證明了這一可能性🎣👮🏽，而且證明可使這一周期軌道與原軌弧某一端的距離不大於原軌弧兩端距離的某個常數倍💇🏼‍♀️，而這常數不依賴於原軌弧。因此廖山濤所證明的是一個更強的、也許可稱之為“有控Ｃ１封閉引理”的結果。這基本上就是後來在國外文獻中極重要的“遍歷Ｃ１封閉引理”。用典範方程組還較便於處理常微系統由於奇點的存在對整體相空間分析所帶來的多方面困難。一個重要例子是廖山濤所證明的一類重要系統的收縮周期軌道的個數在擾動中的一致有限性。

阻礙集粗略地說是切叢上斯梅爾條件的破壞在流形上的集中表現之處。因此阻礙集與斯梅爾條件有密切的聯系🤱🏻。但阻礙集的內涵比斯梅爾條件要多。這是因為🤹🏿‍♂️，若阻礙集不是空集，則可引出所謂極小歧變集這一至關重要的研究對象。廖山濤深入研究了極小歧變集的構造。這一套方法之強有力的一個重要例子⛓️‍💥，是廖山濤１９８１年的關於用擾動中系統的周期軌道的個數來刻劃３維無奇點系統的Ω穩定性的深刻結果🟢。這一結果與當前大家普遍關註的渾沌問題有關🦸🏻，但用其他方法至今看不出有什麽辦法可以得到♝。另一重要例子是著名的穩定性猜測𓀎🌌。這差不多是微分動力系統幾十年來最重要最困難的問題🤜🏿。正如著名數學家Ｍ．舒布（Ｓｈｕｂ）所說🦽：“這一中心問題確確實實是中心的🦹🏼‍♂️。”廖山濤運用他的阻礙集理論🦝，為這一中心問題的最終解決奠定了雄厚的基礎。他先後給出了３維和４維無奇點常微系統穩定的特征性質定理，以及高維常微系統穩定性猜測的部分驗證🥂。這些都是應用阻礙集的方法得到的👨🏽‍🦳👩🏼‍🔧。但這裏值得更加註意的或許是阻礙集理論本身🈂️🛡。

確實，廖山濤對微分動力系統的貢獻，不只是具體的結果🧛🏿‍♂️，而尤其是他提供的理論和方法。其內容寬廣而深刻👱🏽‍♂️，包含著許多創造性的數學思想。有趣的是👩🏿‍🚀，雖然廖山濤的工作結果和我國當時許多科學著作一樣，主要是用中文發表的，但一些後來在世界上有很大發展的理論和方法，卻可在廖山濤的工作中找到思想的產生之處。比如廖山濤在他１９６３年關於微分動力系統遍歷性的早期工作中，研究了一種積分，後來看出☘️，這就是後來在國外被稱作李雅普諾夫特征指數的重要概念。美國著名數學家Ｇ．塞爾（Ｓｅｌｌ）推崇廖山濤的工作是研究特征指數的先驅。又如廖山濤早在１９６３年就表達了一種觀點，即涉及結構穩定性問題的研究🤴🏿，可能有一部分是拓撲式的👩🏼‍🎤🚬，另一部分是統計式的。在他後來關於穩定性猜測的基本工作中🤦🏼‍♀️，拓撲式的微分動力系統與統計式的遍歷論巧妙地結合在一起，成為成功的關鍵。從那以後，微分動力系統與遍歷論的普遍溶合和交織，漸漸成為國外離散系統穩定性猜測研究的基本格局。

廖山濤的工作的價值還不僅限於數學本身。我國著名科學家錢學森曾在各種場合充分肯定了廖山濤關於結構穩定性的工作，指出它屬於系統科學的一部分🏩。實際上，這也就是後來人們把微分動力系統定性為有關系統演化規律的數學學科這一看法的來源💃🏻。

在代數拓撲學中的研究工作

現在🦒，我們扼要介紹廖山濤在代數拓撲學中所作的一些主要研究工作。

１．局部同調群是代數拓撲中一個基本的研究工具。廖山濤推廣了Ｓ．萊夫謝茨（Ｌｅｆｓｃｈｅｔｚ）和Ｒ．Ｌ．懷爾德（Ｗｉｌｄｅｒ）對空間子集的局部同調群的運用，引進了新的局部群以及局部上積和卡積🤟🏻，並利用這些新概念統一了流形上經典的Ｈ．龐加萊（Ｐｏｉｎｃａｒé）對偶定理、Ｊ．Ｗ．亞歷山大（Ａｌｅｘａｎｄｅｒ）對偶定理，以及帶正則邊界的流形上的萊夫謝茨式的對偶定理🚣🏻。另外，他還利用卡積所定義的同構關系引進和研究了所謂慕流形空間，導出了所在空間為一閉曲面的充分條件。

２．３０年代，Ｐ．Ａ．史密斯（Ｓｍｉｔｈ）建立了周期變換的特異同調論😼，一時成為研究周期變換僅有的方法。廖山濤首次找到這領域內的別的途徑✊🏼，提出環的概念，建立了空間Ｘ的特異同調群的乘法結構和在Ｘ上的周期變換Ｔ的不動點集Ｆ之間的部分聯系，並證明了下面新穎的結論：①當Ｘ是一緊流形且周期為素數時，Ｆ至少包含兩個點🧏🏻‍♀️；②當Ｘ是一個ｎ維球以及Ｆ同調於２維球時，Ｆ是一個２維球🧔🏿‍♂️；③當Ｘ是４維歐氏空間時，Ｆ不是空集。

這後一結果乃是對有名的史密斯問題所作的肯定解答。

３．在纖維叢理論中截面的存在性是引人註目的一個幾何問題🧗🏼。解決這類問題通常可歸結於有關阻礙類的計算🏋🏻👨🏽‍🚒，而這種計算又顯得相當復雜。廖山濤對第一層的阻礙類作了適當清理之後⬆️，進而運用他自己的“對稱化”方法，處理了更為復雜的第二層的阻礙類計算問題👿。他對球叢的第二層阻礙類證明了兩個漂亮的計算公式，從而證明了陳省身和Ｅ．Ｈ．斯帕尼爾（Ｓｐａｎｉｅｒ）所提的一個猜測。

４．歷史上許多著名的幾何學家都曾涉足於拓撲實現問題🏨⛹🏼‍♀️，即是否可用拓撲變換把一個拓撲空間Ｘ映射到另一個拓撲空間Ｙ中？特別重要的是當Ｙ為一歐氏空間Ｅｍ的情形。例如，陳省身曾證明👨🏼‍🔬：一個ｎ維的射影球Ｐｎ，當ｎ≠２ｋ—１和ｎ≠２ｋ－２（ｋ≥２）時不能通過微分同胚在Ｅｎ＋２中實現😖。對這裏的兩個例外情形，一般的方法已無能為力。廖山濤用獨特的方法解決了其中一個例外的情形👨‍🏭，即證明了當ｎ＝２ｋ—２（ｋ≥３）時，Ｐｎ也不能通過微分同胚在Ｅｎ＋２中實現🪣。事實上，他還進一步作出了實質的發現：當一個可定向的緊微分流形Ｍｎ＋２的第１維和第２維法２系數同調群都等於零時，Ｐｎ就不能通過微分同胚在Ｍｎ＋２中實現。

治學態度——對自己從難從嚴

廖山濤年輕時好讀書，年長時愛思索，尤求創新。他很欣賞我國唐宋古文八大家之首韓愈的兩句名言“業精於勤，荒於嬉”和“自古為文必己出”。年輕時代他在昆明西山華亭寺內閉門苦讀一些拓撲名著，在數學界傳為佳話🧎‍♀️。後來受數學大師陳省身和斯廷羅德的影響很深👳🏻‍♂️，在數學研究中強調原始思想。直到後來他在數學研究中進行獨具一格的創造👩‍🏫，終於做出世界性的貢獻🧝🏿。如果只用盡可能少的幾個字，也許可將他的治學態度簡單概括為“從難從嚴”這一句很普通的話。但這句話由於使用得過於廣泛❄️👰🏽‍♂️，又很難反映出他對自己要求之嚴厲所達到的近乎苛刻的程度。還在大學階段⏪，他就喜歡對他認為重要的個別數學書作前後一貫的系統學習。這是指🌩，除開思維有條不紊外，還必須熟悉到一種程度🪲：把書本合起來🧏，書本上的內容在腦子中就要像放電影一樣，不停頓地一幕一幕演出來。這種超強度的學習方式對他的影響實在太深了。在後來一段很長的時間裏👩‍👩‍👦‍👦，他在學習數學專著時👂，往往先把書略翻一翻，然後看定義、定理的陳述，但對於證明，則要求自己去想，決不許自己輕易去看現成的。正是由於廖山濤多年來這番苦功，才使得他後來有力量在數學研究上獨樹一幟，進行大片的探索和創造，形成自己獨特的研究體系。即使在這以後⚛️🛩，他仍然保留著這種強烈的“烙印”🍖。他的學生清晰地記得🤾🏻，他在６０歲介紹黎曼（Ｒｉｅｍａｎｎ）幾何時，在兩個月的課程裏他從來沒有看一眼講稿，甚至連定理引理的編號都呼之即出，令學生們驚嘆不已。

３０多年來，廖山濤始終堅守人民教師的職責🖐🏿，獻身於祖國數學教育事業的發展。

在教學上廖山濤主張啟發式和獨立思考，以高標準要求自己，也要求學生。他開設的專門化課程，內容豐富👆🏻，陳述嚴謹，基礎訓練紮實🦾，同時也反映了學科的最新動態。曾有人說過💋🐦，對廖先生的講課筆記只需稍作整理就是一本可以出版的佳作。他在教學園地中的辛勤勞動培養了一批具有深厚數學根基的學生，他們在動力系統等研究領域內嶄露頭角。

廖山濤非常強調首創性對數學研究的重要意義🏃‍➡️，同時也十分關心實際應用對理論發展的推動作用。例如🛕，他曾對熱核反應中的托馬克裝置發生過濃厚的興趣，並試圖用常微系統為它建立一個穩定的控製模型。另外，他也希望把力學中的湍流現象作為自己理論研究的一個目標。

廖山濤沉靜溫和𓀓，平易近人，熱情鼓勵和幫助年青人🏌🏻👨🏻‍🎓。在討論數學問題時總是專心聽取大家的意見，思考問題的症結，最後常能一語中的，使人豁然開朗。他不但留心自己的科研🏷，也非常關心相鄰科研方向的發展。他曾對意昂3体育官网常微分方程的科研規劃提出富有遠見的建議🐈，並對新課程的設置和講授親自進行指導。廖山濤主張積極的國際學術交流💆🏼，提倡學習國外先進的東西，但也常與友人和學生談到🧅🧇，我們中國人有傑出的天賦🆑，在科學技術的研究領域中可以和西洋人進行毫不遜色的角逐👰🏻👨🏼‍🏭。因此，他很鄙視那些妄自菲薄和忘記民族自尊心的思想行為。

廖山濤胸懷坦誠🤚🏿，實事求是，從不誇耀自己的成就，十分淡泊個人的名譽和地位，始終保持著謙讓的美德🧚🏼。“一杯清水深知足，默默無言散異香。”這是他書房中一則友人所贈的詠水仙的條幅中的最後兩句🛀🏽🧗🏼‍♂️，我們願借此來結束這篇傳記。

(作者🌀：丁同仁 文蘭)

簡歷

１９２０年１月４日 出生於湖南衡山縣。

１９３５—１９３７年 （冬）在長沙高級中學讀書。

１９３８—１９４１年 在西南聯合大學肄業。

１９４２—１９４５年 任中學教師😹。

１９４６—１９４７年 任意昂3体育官网數學系助教🧑🏼‍🏭。

１９４８—１９５０年 任中央研究院數學所助理研究員。

１９５０—１９５２年 在美國芝加哥大學陳省身教授指導下獲博士學位。

１９５３—１９５５年 在美國普林斯頓高等研究所作博士後。

１９５６年— 任意昂3体育官网數學系教授。

編輯🧘🏿‍♀️：堯華